Gleitende Durchschnittliche Filterphasenverzögerung

Einführung in lineare Filter Dieser Abschnitt gibt einen Überblick über die Verwendung der (linearen) Filterfunktionen in Dataplore reg und des linearen Filterentwurfs im Allgemeinen. Die Aufgabe der Filterung entsteht häufig in einem Kontext, in dem frequenzabhängige Änderungen eines Signals durchgeführt werden sollen. Filter können zum Filtern verwendet werden, d. h. zum Extrahieren von Informationen über eine interessierende Menge zum Zeitpunkt t durch Beobachten der vorhergehenden Abtastwerte bis zu t (Kausalfilterung). Glättung, die als eine Methode der Rauschunterdrückung verwendet wird, wobei auch vorhergehende Proben verwendet werden können, um die aktuelle Probe zu verändern. Vorhersage, d. h. die Schätzung einer bestimmten Menge, die in Zukunft aus einer Anzahl von vergangenen Proben auftritt. Die häufigste, einfachste und schnellste Art der Filterung wird durch lineare Filter erreicht. Die lineare Filterung eines Signals kann als Faltung des Eingangssignals x (n) mit der Impulsantwort h (n) des gegebenen Filters ausgedrückt werden, dh die Filterausgabe, die aus der Eingabe eines idealen Dirac-Impulses resultiert. Die Fourier-Transformation von h (N) die Amplitudenantwort des Filters ergibt. Die allgemeine Form eines diskreten linearen Filters wird durch die Differenzgleichung gegeben, wobei x das Eingangssignal, y das Filterausgangssignal und und die Filterkoeffizienten sind. Max (M, N) ist die Filterordnung, die mindestens 1 beträgt. Wenn N 0 die Impulsantwort h (n) des Filters aus einer endlichen Anzahl von Abtastungen ungleich Null besteht und der Filter eine sogenannte endliche Impulsantwort ist (FIR) oder einem nichtrekursiven Filter, mit einem rekursiven Teil in der Filterstruktur (N gt 0), ist die Impulsantwort (theoretisch) unendlich und der Filter ist ein unendlicher Impulsantwortfilter (IIR). Im Rahmen von gefilterten stochastischen Prozessen werden FIR-Filter auch als Moving Average (MA) - Filter bezeichnet, und IIR-Filter werden auch als autoregressive (AR) oder auto-regressive Moving Average (ARMA) Filter bezeichnet, je nachdem, ob sie rein sind Rekursiv (M 0) oder haben einen nichtrekursiven Teil (M gt 0). Filterauslegung Der Filtertyp, der für einen bestimmten Zweck ausgelegt und angewendet werden soll, hängt sehr oft von den Bedingungen ab, die die Übertragungsfunktion erfüllen muss. Diese Bedingungen könnten z. B. Umfassen eine lineare Phase (d. h. eine konstante Verzögerung), eine bestimmte Stoppbanddämpfung, eine beliebige Größenform oder eine minimale Filterordnung. Frequenzbereichsfilter Eine der einfachsten und bequemsten Ansätze, die Spektraleigenschaften eines Signals durch Filtern zu verändern, besteht darin, ein Frequenzbereichsfilter anzuwenden, dh den Faltungsvorgang als Multiplikation der Übertragungsfunktion H und der Fourier-Transformation X durchzuführen Des Eingangssignals x in dem Frequenzbereich, in dem die Großbuchstaben die Fourier-Transformationen der jeweiligen Signale und. Das Filtern in dem Frequenzbereich ergibt eine überlegene Leistung im Vergleich zu den anderen nachstehend beschriebenen Filterentwurfstechniken, kann aber nur off-line angewendet werden, d. H. Mit dem vollständigen Signal, das bereits zugänglich ist. Infinite Impulse Response (IIR) Filter Das Design von digitalen IIR-Filtern kann analog zum klassischen analogen Filterdesign (analoges Prototyping) mit herkömmlichen Methoden wie Butterworth, Chebyshev oder elliptischen (oder Cauer) Filtern erfolgen. IIR-Filter haben im allgemeinen sehr nichtlineare Phasenreaktionen, erfüllen aber Größenansprechvorgaben mit einer viel niedrigeren Filterordnung als FIR-Filter. Niedrigere Filter sind am effizientesten in Bezug auf die Bearbeitungszeit und sind einfach zu parametrisieren. Die folgende Abbildung zeigt eine Vorlage für die Spezifikation eines Modell-Tiefpaßfilters im Frequenzbereich. Das Design von Hochpass-, Bandpass - und Bandsperr-IIR-Filtern kann aus diesem Modell abgeleitet werden. Abbildung 3.1: IIR-Filter-Design-Schablone ist die Übergangsbreite. Wird als Durchlaßbandwelligkeit bezeichnet und ist die Stopbanddämpfung des zu konstruierenden IIR-Filters. Derzeit erhältliche IIR-Filtertypen basierend auf dem analogen Prototyping in Dataplore Reg sind Butterworth. Dieser Filtertyp hat eine monotone Amplitudenreaktion, die im Durchlaßbereich maximal flach ist. Die Cutoff-Frequenz liegt bei (oder -3dB) der Anfangsgröße. Die folgende Abbildung zeigt die Amplitudenreaktion eines Butterworth-Filters für verschiedene Filterreihenfolge N. Abbildung 3.2: Butterworth-Filter-Magnitudenreaktion Chebyshev. Dieser Filtertyp ist gleichmßig (d. H. Mit Welligkeiten gleicher Höhe) im Durchlaßbereich mit einer maximalen maximalen Amplitudenantwort, die maximal flach ist. Es minimiert die Differenz zwischen dem idealen und dem tatsächlichen Frequenzgang. Die Cutoff-Frequenz entspricht der zuvor gezeigten Filter-Design-Schablone. Die folgende Abbildung zeigt die Amplitudenreaktion eines Chebyshev-Filters. Abbildung 3.3: Elliptisch (Cauer) des Chebyshev-Filters: Dieser Filtertyp ist sowohl im Durchlaßbereich als auch im Sperrbereich gleich (siehe oben), erreicht jedoch die kleinste Übergangsbreite mit der niedrigsten Ordnung eines der oben beschriebenen Filtertypen. Die Cutoff-Frequenz entspricht der zuvor gezeigten Filter-Design-Schablone. Die folgende Abbildung zeigt das Ausmaß eines elliptischen Filters. Abbildung 3.4: Elliptische Filterstärkenreaktion Finite Impulse Response (FIR) Filter Digitale FIR-Filter können so konzipiert werden, dass sie eine exakte lineare oder sogar Nullphase bieten und im Gegensatz zu den IIR-Filtern immer stabil sind. Filter, die eine lineare Phasenreaktion anbieten, wenden eine konstante Phasenverzögerung der Hälfte der Filterreihenfolge auf alle Frequenzkomponenten des Eingangssignals an, wodurch ein Verschmieren von breitbandigen Impulsen oder Kanten vermieden wird. Nullphasenfilter weisen überhaupt keine Phasenverzerrungen auf, die als akustische Filter mit einer spezialisierten Verzögerungsverarbeitung implementiert sind. Es gibt mehrere Möglichkeiten, FIR-Filter zu entwerfen, eine davon ist die sogenannte Fenstermethode. Da die Koeffizienten eines FIR-Filters mit der diskreten Impulsantwort des Filters identisch sind, können sie leicht durch Rücktransformation der idealen Übertragungsfunktion in den Zeitbereich erhalten werden. Dies führt zu akausalen Impulsantworten unendlicher Länge. Die Verkürzung und Gewichtung dieser Impulsantworten durch die Anwendung (Multiplikation) einer bestimmten Fensterfunktion entspricht einem Faltungsvorgang im Frequenzbereich. Es gibt Fensterfunktionen, die - im Vergleich zu einfachen rechteckigen (Boxcar-) Fenstern - die Welligkeit an den Bandkanten reduzieren, aber die Rolloff-Steilheit (Dämpfung pro Frequenzband) auf der anderen Seite opfern. Window-Funktionen derzeit für FIR-Filter-Design in Dataplore Reg sind Potter und Kaiser. Wo diese optimal parametrisiert werden können, um Annäherungsfehler zu minimieren. Es ist definiert durch wobei M die Fensterlänge ist und die modifizierte Bessel-Funktion der ersten Art nullter Ordnung ist. M und (ein Formparameter) optimal gewählt werden. Diese Wahl erfolgt automatisch durch Dataplore reg. Ein anderer Ansatz ist FIR-Filter-Design nach Parks und McClellan. Eine optimale Anpassung zwischen dem gewünschten und dem tatsächlichen Frequenzgang wird durch die Verwendung des Remez-Austauschalgorithmus und der Tschebyshev-Näherungstheorie erreicht (siehe RabinerParksMcClellan 2 für Details). Die Frequenzanteile von Parks-McClellan-FIR-Filtern zeigen ein äquiliples Verhalten (siehe oben) und können für die Konstruktion von Filtern mit einer beliebigen Größenreaktion verwendet werden. Weiterführende Literatur: OppenheimSchafer 3. ParksBurrus 4. OtnesEnochson 5Der Wissenschaftler und Ingenieure Leitfaden zur digitalen Signalverarbeitung Von Steven W. Smith, Ph. D. Kapitel 19: Rekursive Filter Es gibt drei Arten von Phasenreaktionen, die ein Filter haben kann: Nullphase. Linearer Phase. Und nichtlineare Phase. Ein Beispiel für jedes von diesen ist in Abbildung 19-7 gezeigt. Wie in (a) gezeigt, ist das Nullphasenfilter durch eine Impulsantwort charakterisiert, die um den Nullpunkt symmetrisch ist. Die tatsächliche Form spielt keine Rolle, nur daß die negativ numerierten Abtastwerte ein Spiegelbild der positiv numerierten Abtastwerte sind. Wenn die Fourier-Transformation von dieser symmetrischen Wellenform genommen wird, ist die Phase vollständig null, wie in (b) gezeigt. Der Nachteil des Nullphasenfilters besteht darin, daß er die Verwendung von negativen Indizes erfordert, was für die Arbeit unpraktisch sein kann. Das lineare Phasenfilter ist ein Weg um dieses. Die Impulsantwort in (d) ist mit der in (a) gezeigten identisch, außer sie wurde verschoben, um nur positiv numerierte Proben zu verwenden. Die Impulsantwort ist immer noch symmetrisch zwischen links und rechts, die Lage der Symmetrie ist jedoch von Null verschoben worden. Diese Verschiebung führt dazu, daß die Phase (e) eine gerade Linie ist. Abrechnung des Namens: lineare Phase. Die Steigung dieser Geraden ist direkt proportional zum Betrag der Verschiebung. Da die Verschiebung der Impulsantwort nichts anderes bewirkt als eine identische Verschiebung des Ausgangssignals, ist das lineare Phasenfilter für die meisten Zwecke dem Nullphasenfilter äquivalent. Abbildung (g) zeigt eine Impulsantwort, die nicht symmetrisch zwischen links und rechts ist. Entsprechend ist die Phase (h) keine Gerade. Mit anderen Worten, es hat eine nichtlineare Phase. Nicht verwirren die Begriffe: nichtlineare und lineare Phase mit dem Konzept der System-Linearität diskutiert in Kapitel 5. Obwohl beide das Wort linear. Sie sind nicht verwandt. Warum ist mir egal, ob die Phase linear ist oder nicht Die Abbildungen (c), (f) und (i) zeigen die Antwort. Dies sind die Impulsantworten jedes der drei Filter. Die Impulsantwort ist nichts weiter als eine positiv gehende Schrittantwort, gefolgt von einer negativ gehenden Schrittantwort. Die Impulsantwort wird hier verwendet, weil sie anzeigt, was mit den ansteigenden und fallenden Flanken in einem Signal geschieht. Hier ist der wichtige Teil: Null - und lineare Phasenfilter haben linke und rechte Kanten, die gleich aussehen. Während nichtlineare Phasenfilter linke und rechte Kanten haben, die anders aussehen. Viele Anwendungen können nicht tolerieren, die linken und rechten Kanten anders aussehen. Ein Beispiel ist die Anzeige eines Oszilloskops, wobei diese Differenz als Merkmal des zu messenden Signals fehlinterpretiert werden könnte. Ein weiteres Beispiel ist die Videoverarbeitung. Können Sie sich vorstellen, schalten Sie Ihren Fernseher, um das linke Ohr Ihres Lieblings-Schauspieler suchen anders als sein rechtes Ohr finden Es ist einfach, eine FIR (Finite-Impulsantwort) Filter haben eine lineare Phase. Denn die Impulsantwort (Filterkernel) wird direkt im Designprozess spezifiziert. Damit der Filterkernel eine Links-Rechts-Symmetrie hat, ist alles erforderlich. Dies ist bei IIR (rekursiven) Filtern nicht der Fall, da die Rekursionskoeffizienten angegeben sind, nicht aber die Impulsantwort. Die Impulsantwort eines rekursiven Filters ist nicht symmetrisch zwischen links und rechts und hat daher eine nichtlineare Phase. Analoge elektronische Schaltungen haben das gleiche Problem mit dem Phasengang. Stellen Sie sich eine Schaltung aus Widerständen und Kondensatoren auf Ihrem Schreibtisch sitzen. Wenn der Eingang immer Null war, ist der Ausgang auch immer Null gewesen. Wenn ein Impuls an den Eingang angelegt wird, werden die Kondensatoren schnell auf einen Wert geladen und beginnen dann exponentiell durch die Widerstände zu zerfallen. Die Impulsantwort (d. h. das Ausgangssignal) ist eine Kombination dieser verschiedenen abklingenden Exponentiale. Die Impulsantwort kann nicht symmetrisch sein, da der Ausgang vor dem Impuls Null war und der exponentielle Zerfall nie wieder einen Wert von Null erreicht. Analoge Filter-Designer greifen dieses Problem mit dem Bessel-Filter an. Das in Kapitel 3 dargestellt ist. Das Bessel-Filter ist so ausgelegt, dass es eine möglichst lineare Phase aufweist, jedoch weit unter der Leistung von digitalen Filtern liegt. Die Fähigkeit, eine exakte lineare Phase bereitzustellen, ist ein klarer Vorteil von digitalen Filtern. Glücklicherweise gibt es eine einfache Möglichkeit, rekursive Filter zu modifizieren, um eine Nullphase zu erhalten. Abbildung 19-8 zeigt ein Beispiel dafür, wie dies funktioniert. Das zu filternde Eingangssignal ist in (a) dargestellt. Abbildung (b) zeigt das Signal, nachdem es von einem einpoligen Tiefpassfilter gefiltert wurde. Da es sich hierbei um ein nichtlineares Phasenfilter handelt, sehen die linken und rechten Kanten nicht gleich aus, sie sind umgekehrte Versionen voneinander. Wie zuvor beschrieben, wird dieses rekursive Filter implementiert, indem man bei der Probe 0 anfängt und in Richtung der Probe 150 arbeitet, wobei jede Abtastung auf dem Weg berechnet wird. Es sei nun angenommen, daß anstatt sich von der Abtastprobe 0 zur Abtastprobe 150 zu bewegen, bei der Abtastprobe 150 anfängt und sich zu dem Abtastwert 0 bewegt. Mit anderen Worten wird jede Abtastung in dem Ausgangssignal aus den Eingangs - und Ausgangsabtastwerten rechts von der zu bearbeitenden Abtastprobe berechnet auf. Dies bedeutet, daß die Rekursionsgleichung Gl. 19-1, wird geändert in: Fig. (C) zeigt das Ergebnis dieser Rückwärtsfilterung. Dies ist analog zum Durchführen eines analogen Signals durch eine elektronische RC-Schaltung während der Laufzeit rückwärts. Esrvinu eht pu-wercs nac lasrever emit - noituaC Die Filterung in umgekehrter Richtung erzeugt keinen Vorteil für sich, das gefilterte Signal hat noch linke und rechte Kanten, die nicht gleich aussehen. Die Magie geschieht, wenn Vorwärts - und Rückwärtsfilterung kombiniert werden. Die Abbildung (d) ergibt sich aus der Filterung des Signals in Vorwärtsrichtung und dem erneuten Filtern in umgekehrter Richtung. Voila Dies erzeugt ein Nullphasen-Rekursivfilter. Tatsächlich kann jedes rekursive Filter mit dieser bidirektionalen Filtertechnik auf Nullphase umgesetzt werden. Die einzige Strafe für diese verbesserte Leistung ist ein Faktor von zwei in der Ausführungszeit und der Programmkomplexität. Wie finden Sie die Impuls - und Frequenzreaktionen des Gesamtfilters? Die Größe des Frequenzganges ist für jede Richtung gleich, während die Phasen einander entgegengesetzt sind. Wenn die beiden Richtungen kombiniert werden, wird die Größe quadriert. Während die Phase auf Null sinkt. Im Zeitbereich entspricht dies dem Falten der ursprünglichen Impulsantwort mit einer von links nach rechts gekippten Version von sich selbst. Beispielsweise ist die Impulsantwort eines einpoligen Tiefpaßfilters ein einseitiges Exponential. Die Impulsantwort des entsprechenden bidirektionalen Filters ist ein einseitiges Exponential, das nach rechts zerfällt, gefaltet mit einem einseitigen Exponential, das nach links zerfällt. Beim Durchlaufen der Mathematik erweist sich dies als doppelseitiges Exponential, das sowohl nach links als auch nach rechts zerfällt, mit der gleichen Abklingkonstante wie das ursprüngliche Filter. Einige Anwendungen haben nur einen Teil des Signals im Computer zu einem bestimmten Zeitpunkt, wie zum Beispiel Systeme, die abwechselnd Input-und Output-Daten auf einer kontinuierlichen Basis. Bidirektionale Filterung kann in diesen Fällen verwendet werden, indem sie mit der im letzten Kapitel beschriebenen Überlappungsmethode kombiniert wird. Wenn Sie zu der Frage kommen, wie lange die Impulsantwort ist, sagen Sie nicht unendlich. Wenn Sie dies tun, müssen Sie jedes Signal-Segment mit einer unendlichen Anzahl von Nullen. Denken Sie daran, dass die Impulsantwort abgeschnitten werden kann, wenn sie unter dem Rundungsrauschpegel, d. H. Etwa 15 bis 20 Zeitkonstanten, abgeklungen ist. Jedes Segment muss mit Nullen sowohl links als auch rechts aufgefüllt werden, um die Ausdehnung während der bidirektionalen Filterung zu ermöglichen. SignalverarbeitungDigitale Filter Digitale Filter sind durch essenziell abgetastete Systeme. Die Eingangs - und Ausgangssignale werden durch Abtastwerte mit gleichem Zeitabstand dargestellt. Finite Implulse Response (FIR) - Filter sind gekennzeichnet durch ein Zeitverhalten, das nur von einer gegebenen Anzahl der letzten Abtastwerte des Eingangssignals abhängt. Anders ausgedrückt: Sobald das Eingangssignal auf Null abgesunken ist, wird der Filterausgang nach einer bestimmten Anzahl von Abtastperioden das gleiche tun. Der Ausgang y (k) ist durch eine Linearkombination der letzten Eingangsabtastwerte x (k i) gegeben. Die Koeffizienten b (i) geben das Gewicht für die Kombination an. Sie entsprechen auch den Koeffizienten des Zählers der Z-Domain-Filtertransferfunktion. Die folgende Abbildung zeigt ein FIR-Filter der Ordnung N 1: Bei linearen Phasenfiltern sind die Koeffizientenwerte um das mittlere symmetrisch und die Verzögerungsleitung kann um diesen Mittelpunkt zurückgeklappt werden, um die Anzahl der Multiplikationen zu reduzieren. Die Übertragungsfunktion der FIR-Filter pocesses nur einen Zähler. Dies entspricht einem Nullfilter. FIR-Filter erfordern typischerweise hohe Ordnungen in der Größenordnung von einigen Hunderten. Somit benötigt die Wahl dieser Art von Filtern eine große Menge an Hardware oder CPU. Trotzdem ist ein Grund, eine FIR-Filter-Implementierung zu wählen, die Fähigkeit, eine lineare Phasenreaktion zu erreichen, die in einigen Fällen eine Anforderung sein kann. Trotzdem hat der Fiter-Designer die Möglichkeit, IIR-Filter mit guter Phasenlinearität im Durchlaßband wie Bessel-Filter zu wählen. Oder ein Allpassfilter zu entwerfen, um die Phasenreaktion eines Standard-IIR-Filters zu korrigieren. Moving Average Filter (MA) Edit Moving Average (MA) Modelle sind Prozessmodelle in der Form: MA Prozesse ist eine alternative Darstellung von FIR Filtern. Durchschnittliche Filter Edit Ein Filter, der den Durchschnitt der N letzten Abtastwerte eines Signals berechnet. Es ist die einfachste Form eines FIR-Filters, wobei alle Koeffizienten gleich sind. Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters ist gegeben durch: Die Übertragungsfunktion eines Durchschnittsfilters weist N gleich beabstandete Nullen entlang der Frequenzachse auf. Die Null bei DC wird jedoch durch den Pol des Filters maskiert. Daher gibt es eine größere Keule, die für das Filterdurchlassband verantwortlich ist. Cascaded Integrator-Comb (CIC) Filter Edit Ein Cascaded Integrator-Comb Filter (CIC) ist eine spezielle Technik zur Realisierung von mittleren Filtern in Serie. Die Serienplatzierung der mittleren Filter verstärkt den ersten Lappen bei DC im Vergleich zu allen anderen Lappen. Ein CIC-Filter implementiert die Übertragungsfunktion von N Durchschnittsfiltern, die jeweils den Durchschnitt von R M Abtastwerten berechnen. Seine Übertragungsfunktion ist folglich gegeben durch: CIC-Filter werden verwendet, um die Anzahl der Abtastwerte eines Signals um einen Faktor R zu dezimieren oder, anders ausgedrückt, ein Signal mit einer niedrigeren Frequenz erneut abzutasten, wobei R 1 Abtastwerte aus R weggeworfen werden. Der Faktor M gibt an, wie viel von dem ersten Lappen durch das Signal verwendet wird. Die Anzahl der mittleren Filterstufen, N. Wie gut andere Frequenzbänder gedämpft werden, auf Kosten einer weniger flachen Übertragungsfunktion um DC herum. Die CIC-Struktur ermöglicht es, das gesamte System mit nur Addierern und Registern zu implementieren, wobei keine Multiplikatoren verwendet werden, die in Bezug auf Hardware gierig sind. Eine Abwärtsabtastung mit dem Faktor R erlaubt die Erhöhung der Signalauflösung durch log 2 (R) (R) Bits. Kanonische Filter Bearbeiten Kanonische Filter implementieren eine Filterübertragungsfunktion mit einer Anzahl von Verzögerungselementen gleich der Filterreihenfolge, einem Multiplikator pro Zählerkoeffizienten, einem Multiplikator pro Nennerkoeffizienten und einer Reihe von Addierern. Ähnlich wie aktive Filter kanonische Strukturen zeigte sich diese Art von Schaltungen sehr empfindlich gegenüber Elementwerten: eine kleine Änderung in Koeffizienten hatte einen großen Einfluss auf die Übertragungsfunktion. Auch hier hat sich das Design von aktiven Filtern von kanonischen Filtern zu anderen Strukturen wie Ketten zweiter Ordnung oder Leapfrog-Filtern verschoben. Kette der Sektionen der zweiten Ordnung Edit Eine Sektion zweiter Ordnung. Oft als Biquad bezeichnet. Implementiert eine Übertragungsfunktion zweiter Ordnung. Die Übertragungsfunktion eines Filters kann in ein Produkt von Übertragungsfunktionen aufgeteilt werden, die jeweils einem Paar von Pole und möglicherweise einem Paar von Nullen zugeordnet sind. Wenn die Übertragungsfunktionen ordnungsgemäß ungerade sind, muss ein erster Ordnungsteil zur Kette hinzugefügt werden. Dieser Abschnitt ist dem realen Pol und dem realen Nullpunkt zugeordnet, falls einer vorhanden ist. Direct-Form 1 Direct-Form 2 Direct-Form 1 Transponierte Direct-Form 2 transponiert Das von der folgenden Abbildung transponierte Direct-Formular 2 ist besonders interessant in Bezug auf die benötigte Hardware sowie die Signal - und Koeffizienten-Quantisierung. Digitale Leapfrog-Filter Filterstruktur bearbeiten Digitale Leapfrog-Filter basieren auf der Simulation von analogen aktiven Leapfrog-Filtern. Der Anreiz für diese Wahl ist, von den ausgezeichneten Passband-Empfindlichkeitseigenschaften der ursprünglichen Leiter-Schaltung zu erben. Das folgende 4. Ordnung allpolige Tiefpass-Leapfrogfilter kann als digitale Schaltung implementiert werden, indem die analogen Integratoren durch Akkumulator ersetzt werden. Das Ersetzen der Analogintegratoren durch Akkumulatoren entspricht der Vereinfachung der Z-Umwandlung zu z 1 s T. Die die beiden ersten Terme der Taylorreihe von z e x p (s T) sind. Diese Näherung ist gut genug für Filter, bei denen die Abtastfrequenz viel höher ist als die Signalbandbreite. Transferfunktion Edit Die Zustandsraumdarstellung des vorangehenden Filters kann wie folgt geschrieben werden: Aus dieser Gleichung kann man die A, B, C, D Matrizen schreiben als: Aus dieser Darstellung lassen sich Signalverarbeitungswerkzeuge wie Octave oder Matlab grafisch darstellen Den Frequenzgang des Filters oder seine Nullen und Pole zu untersuchen. In dem digitalen Leapfrog-Filter stellen die relativen Werte der Koeffizienten die Form der Übertragungsfunktion (Butterworth, Chebyshev.) Ein, während ihre Amplituden die Grenzfrequenz einstellen. Das Dividieren aller Koeffizienten um einen Faktor von zwei verschiebt die Cutoff-Frequenz um eine Oktave (auch einen Faktor von zwei) nach unten. Ein spezieller Fall ist der Buterworth-Filter 3. Ordnung, der Zeitkonstanten mit relativen Werten von 1, 12 und 1 aufweist. Dadurch kann dieses Filter in Hardware ohne Multiplikator implementiert werden. Autoregressive Filter (AR) Edit Autoregressive (AR) Modelle sind Prozessmodelle in der Form: Wo u (n) die Ausgabe des Modells ist, ist x (n) die Eingabe des Modells und u (n - m) sind vorherige Abtastwerte des Modellausgangswertes. Diese Filter werden autoregressiv genannt, da die Ausgangswerte auf der Grundlage von Regressionen der vorherigen Ausgabewerte berechnet werden. AR-Prozesse können durch ein Allpol-Filter dargestellt werden. ARMA Filter Edit Autoregressive Moving-Average Filter (ARMA) sind Kombinationen von AR - und MA-Filtern. Der Ausgang des Filters ist als Linearkombination sowohl der gewichteten Eingangs - als auch der gewichteten Ausgangssamples gegeben: ARMA-Prozesse können als digitales IIR-Filter mit beiden Pole und Nullen betrachtet werden. AR-Filter werden in vielen Fällen bevorzugt, da sie mit den Yule-Walker-Gleichungen analysiert werden können. MA - und ARMA-Prozesse hingegen können durch komplizierte nichtlineare Gleichungen analysiert werden, die schwer zu studieren und zu modellieren sind. Wenn wir einen AR-Prozeß mit Abgriff-Gewichtungskoeffizienten a (einen Vektor von a (n), a (n - 1).) Einen Eingang von x (n) haben. Und eine Ausgabe von y (n). Können wir die yule-walker Gleichungen verwenden. Wir sagen, dass x 2 die Varianz des Eingangssignals ist. Wir behandeln das Eingangsdatensignal als Zufallssignal, auch wenn es ein deterministisches Signal ist, weil wir nicht wissen, was der Wert ist, bis wir ihn erhalten. Wir können die Yule-Walker-Gleichungen folgendermaßen ausdrücken: wobei R die Kreuzkorrelationsmatrix der Prozeßausgabe ist und r die Autokorrelationsmatrix der Prozeßausgabe ist: Varianzbearbeitung Wir können zeigen: Wir können die Eingangssignalabweichung als: , Expandiert und ersetzt r (0). Können wir die Ausgangsvarianz des Prozesses auf die Eingangsvarianz beziehen: